Mathématiques · 21 / 23
Loi binomiale : compter les succès
Terminale · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Le modèle binomial exige un nombre fixé d’essais indépendants, deux issues par essai et la même probabilité de succès p. X compte les succès, pas leur position. Pour exactement k succès parmi n essais, on compte les placements possibles puis on multiplie par pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. L’espérance vaut np ; ce n’est pas un résultat garanti.
Un chemin : on multiplie. Des chemins incompatibles vers un même événement : on additionne. L’arbre est partiel ; les branches de non A ne sont pas dessinées.
- 01Vérifier les essais
- 02Définir X
- 03Compter les placements
- 04Complément si utile
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Trois essais indépendants avec p = 0,2 : exactement un succès peut se placer à trois endroits. La probabilité vaut 3 × 0,2 × 0,8² = 0,384.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Deux essais indépendants avec p = 0,3 : quelle est la probabilité d’au moins un succès ?
Un indice
Calcule d’abord la probabilité de zéro succès.
Voir et comprendre la correction
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7² = 0,51. Les événements « zéro » et « au moins un » sont complémentaires.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Quelles conditions permettent de modéliser cinq lancers d’une pièce par une loi binomiale ?
Un indice pour démarrer
Vérifie nombre fixe, deux issues, indépendance et même probabilité.
Correction étape par étape
- Fixe cinq lancers et un succès, par exemple pile.
- Suppose les lancers indépendants et P(pile) constante.
- Le nombre de piles suit alors B(5,p), avec p = 0,5 pour une pièce équilibrée.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
X suit B(4,0,5). Calcule P(X = 2).
Un indice pour démarrer
Il existe six façons de placer deux succès parmi quatre essais.
Correction étape par étape
- P(X = 2) = 6 × 0,5² × 0,5².
- Chaque succession a probabilité 1/16.
- Le total est 6/16 = 0,375.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
X suit B(10,0,2). Calcule P(X ≥ 1) et son espérance.
Un indice pour démarrer
Pour au moins un, calcule le complément de zéro.
Correction étape par étape
- P(X = 0) = 0,8¹⁰.
- P(X ≥ 1) = 1 − 0,8¹⁰ ≈ 0,8926.
- E(X) = np = 2 ; ce n’est pas une prédiction certaine du prochain résultat.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Un tirage sans remise dans une petite population n’a généralement ni indépendance ni probabilité constante.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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