Mathématiques · 09 / 23
Thalès et triangles semblables
Collège · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Des triangles semblables ont les mêmes angles et des côtés homologues proportionnels. Dans une configuration de Thalès, des droites parallèles coupent deux sécantes : les rapports de longueurs correspondantes sont égaux. Repère les sommets dans le même ordre avant de faire un produit en croix. Pour un agrandissement de facteur k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k².
Les deux triangles sont semblables. Multiplier toutes les longueurs par 2 multiplie les aires par 4. Les angles restent inchangés.
- 01Angles ou parallèles
- 02Côtés correspondants
- 03Rapport commun
- 04Longueur versus aire
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Un petit triangle a deux côtés homologues 4 et 7. Le grand a le côté correspondant à 4 égal à 6. Le facteur vaut 6/4=1,5 ; l’autre côté vaut 7×1,5=10,5.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Une figure est agrandie par facteur 3. Que deviennent ses longueurs et son aire ?
Un indice
Une aire associe deux dimensions.
Voir et comprendre la correction
Les longueurs sont multipliées par 3, l’aire par 3²=9. Un carré de côté 2 devient côté 6 : son aire passe de 4 à 36.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Deux triangles semblables ont un rapport de longueurs de 3. Quel est le rapport de leurs aires ?
Un indice pour démarrer
Une aire multiplie deux longueurs.
Correction étape par étape
- Chaque longueur est multipliée par 3.
- L’aire est multipliée par 3².
- Le rapport des aires est 9, pas 3.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC], MN ∥ BC. AM = 3, AB = 9, BC = 12. Trouve MN.
Un indice pour démarrer
Écris les rapports de côtés correspondants.
Correction étape par étape
- AM/AB = MN/BC par Thalès.
- 3/9 = MN/12.
- MN = 4, dans la même unité de longueur.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
AM/AB = AN/AC = 1/2 suffit-il à conclure MN ∥ BC si M et N ne sont pas situés sur les côtés ?
Un indice pour démarrer
La réciproque exige aussi des alignements et un ordre compatible.
Correction étape par étape
- L’égalité numérique seule ne décrit pas la figure.
- Il faut A,M,B alignés et A,N,C alignés, dans un ordre compatible.
- Sous ces conditions, la réciproque de Thalès établit le parallélisme.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Ne compare pas des côtés sans vérifier leur correspondance. La réciproque de Thalès demande aussi les alignements et leur ordre.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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