Mathématiques · 18 / 23
Cercle trigonométrique et radians
Première · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Sur le cercle unité, le point d’angle θ a pour coordonnées (cos θ ; sin θ). Un tour vaut 2π radians ou 360°. Les radians relient angle et longueur d’arc sur le cercle unité. La périodicité de sin et cos vaut 2π ; leur signe dépend du quadrant. Pythagore donne cos²θ+sin²θ=1.
Sur le cercle unité, le point d’angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Le dessin montre un angle de π/4 ; les projections donnent les deux coordonnées.
- 01Angle en radians
- 02Point du cercle
- 03Abscisse cos / ordonnée sin
- 04Périodicité et signe
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
π/6 correspond à 30°. cos(π/6)=√3/2 et sin(π/6)=1/2. À π, le point est (−1;0). Une valeur décimale entrée dans le studio est interprétée en radians.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Donne sin(π/2) et cos(π/2).
Un indice
Le point est au sommet du cercle unité.
Voir et comprendre la correction
Ses coordonnées sont (0;1), donc cos(π/2)=0 et sin(π/2)=1.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Convertis 150° en radians.
Un indice pour démarrer
180° correspond à π radians.
Correction étape par étape
- Multiplie 150 par π/180.
- Simplifie 150/180 = 5/6.
- 150° = 5π/6 radians.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Donne cos(π/3) et sin(π/3), puis vérifie cos² + sin².
Un indice pour démarrer
Le point est dans le premier quadrant.
Correction étape par étape
- cos(π/3) = 1/2 ; sin(π/3) = √3/2.
- Leurs carrés valent 1/4 et 3/4.
- La somme vaut 1, comme pour tout point du cercle unité.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Résous sin(x) = 1/2 dans [0,2π[.
Un indice pour démarrer
Une horizontale coupe le cercle en deux points.
Correction étape par étape
- L’angle de référence est π/6.
- Le second angle est π − π/6 = 5π/6.
- Les solutions dans cet intervalle sont π/6 et 5π/6.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Ne mélange pas degrés et radians dans une même formule. cos²θ désigne (cos θ)², pas cos(θ²).
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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