Mathématiques · 07 / 23
Développer, factoriser et reconnaître une identité
Collège · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Développer transforme un produit en somme par distributivité. Factoriser fait l’inverse : on cherche un facteur commun ou une identité remarquable. Les identités (a+b)² = a²+2ab+b² et (a−b)(a+b) = a²−b² sont valables pour tous les réels. Choisis la forme selon le but : calculer, résoudre un produit nul ou étudier un signe.
- 01Repérer la forme
- 02Facteur ou identité
- 03Transformer
- 04Redévelopper pour vérifier
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
3x + 6 = 3(x+2), car chaque terme contient 3. Pour x²−9, reconnais deux carrés : (x−3)(x+3). Pour (x+2)², développe tous les produits : x²+4x+4.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Factorise 5x² + 10x.
Un indice
Les deux termes contiennent 5x.
Voir et comprendre la correction
5x² + 10x = 5x(x+2). En développant de nouveau, on retrouve exactement les deux termes initiaux.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Développe (x + 4)².
Un indice pour démarrer
Un carré de somme contient un terme croisé.
Correction étape par étape
- (x + 4)(x + 4) donne x² + 4x + 4x + 16.
- Regroupe : x² + 8x + 16.
- x² + 16 oublierait le terme 8x.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Factorise 6x² − 9x.
Un indice pour démarrer
Repère le facteur commun dans les deux termes.
Correction étape par étape
- Le facteur commun maximal est 3x.
- 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
- Redévelopper retrouve chaque terme, ce qui vérifie la factorisation.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Résous x² − 16 = 0 sans discriminant.
Un indice pour démarrer
Une différence de carrés se factorise.
Correction étape par étape
- x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
- Chaque facteur peut être nul.
- Les solutions sont −4 et 4, et non seulement 4.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
(a+b)² ne vaut pas a²+b². Diviser par x pendant une résolution peut supprimer la solution x=0.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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