Mathématiques · 23 / 23
Probabilité conditionnelle : changer la population de référence
Terminale · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
P(B sachant A) mesure la part de B à l’intérieur de A, lorsque P(A)>0. Elle vaut P(A∩B)/P(A). Le dénominateur est donc la probabilité de la condition. Inverser condition et événement change généralement le résultat. L’indépendance signifie que conditionner par A ne change pas la probabilité de B, sous les conditions de définition.
- 01Condition
- 02Intersection
- 03Diviser par la condition
- 04Comparer sans inverser
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Sur 100 personnes, 30 sont dans A et 12 dans A et B. P(B|A)=12/30=0,4. Si B contient 20 personnes, P(A|B)=12/20=0,6 : mêmes personnes communes, population de référence différente.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
P(A)=0,5 et P(A∩B)=0,2. Calcule P(B|A).
Un indice
L’événement après « sachant » donne le dénominateur.
Voir et comprendre la correction
P(B|A)=0,2/0,5=0,4. Cela ne donne pas P(A|B), qui demanderait aussi P(B).
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1. Trouve P(B | A).
Un indice pour démarrer
Restreins l’univers aux cas où A est réalisé.
Correction étape par étape
- P(B
- A) = P(A ∩ B)/P(A).
- 0,1/0,4 = 0,25.
- Le dénominateur est P(A), pas P(B).
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
P(A) = 0,3, P(B | A) = 0,8, P(B | non A) = 0,2. Trouve P(B).
Un indice pour démarrer
Additionne les deux chemins disjoints vers B.
Correction étape par étape
- P(A ∩ B) = 0,3 × 0,8 = 0,24.
- P(non A ∩ B) = 0,7 × 0,2 = 0,14.
- P(B) = 0,38.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Avec les données précédentes, trouve P(A | B). Est-ce égal à P(B | A) ?
Un indice pour démarrer
Utilise l’intersection 0,24 et le total de B, 0,38.
Correction étape par étape
- P(A
- B) = 0,24/0,38 = 12/19 ≈ 0,632.
- P(B
- A) vaut 0,8.
- Inverser le conditionnement change la population de référence.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Une probabilité conditionnelle n’est pas une simple intersection. Ne suppose pas l’indépendance pour simplifier une formule.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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