Mathématiques · 20 / 23
Primitives et intégrales : accumuler une variation
Terminale · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Une primitive F de f vérifie F′ = f. Les primitives diffèrent d’une constante sur un intervalle. L’intégrale de a à b se calcule avec F(b) − F(a). Pour une fonction positive, elle correspond à l’aire sous la courbe ; avec des valeurs négatives, c’est une aire algébrique, pas la somme de toutes les surfaces.
- 01Fonction f
- 02Primitive F
- 03Valeurs aux bornes
- 04F(b) moins F(a)
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Pour f(x) = x², F(x) = x³/3. Entre 0 et 3, l’intégrale vaut 27/3 − 0 = 9. Dériver F redonne x².
Aire géométrique ou intégrale signée ?
Pour f(x)=x sur [−1;1], une primitive est x²/2. L’intégrale vaut 1/2−1/2=0 : la partie sous l’axe compense celle au-dessus. L’aire géométrique vaut 1, somme de deux triangles de base 1 et hauteur 1. Elle correspond à l’intégrale de |x|, pas à celle de x.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Calcule l’intégrale de 2x entre 0 et 2.
Un indice
Cherche une fonction dont la dérivée est 2x.
Voir et comprendre la correction
F(x) = x² convient. F(2) − F(0) = 4. Comme 2x est positive sur cet intervalle, cela correspond aussi à l’aire du triangle sous la droite.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Calcule l’intégrale de 0 à 2 de f(x) = 3x².
Un indice pour démarrer
Cherche une primitive puis soustrais les valeurs aux bornes.
Correction étape par étape
- Une primitive est F(x) = x³.
- F(2) − F(0) = 8 − 0.
- L’intégrale vaut 8.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’intégrale de −1 à 1 de x est nulle. L’aire géométrique est-elle nulle ?
Un indice pour démarrer
Les deux moitiés ont des signes opposés.
Correction étape par étape
- Une primitive est x²/2 ; les valeurs aux bornes sont égales.
- L’intégrale algébrique vaut 0 par compensation.
- Les deux triangles ont chacun aire 1/2 : aire géométrique totale 1.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Trouve la valeur moyenne de x² sur [0,3].
Un indice pour démarrer
Une moyenne intégrale divise par la longueur de l’intervalle.
Correction étape par étape
- L’intégrale vaut [x³/3] de 0 à 3, soit 9.
- Divise par 3 − 0.
- La valeur moyenne vaut 3, différente de la valeur au milieu 2,25.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Confondre primitive et dérivée, ou oublier l’ordre F(b) − F(a).
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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