Mathématiques · 22 / 23
Limites : décrire un comportement sans atteindre le point
Terminale · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Une limite décrit le comportement d’une fonction lorsque x approche une valeur ou part vers l’infini. La fonction peut ne pas être définie au point visé. Distingue limite à gauche et à droite ; si elles diffèrent, il n’y a pas de limite commune. À l’infini, comparer les termes dominants aide pour des polynômes et quotients, mais une forme indéterminée demande une transformation.
- 01Point ou infini
- 02Domaine et côtés
- 03Transformer si besoin
- 04Conclure le comportement
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Pour 1/x, quand x tend vers +∞, la valeur tend vers 0. Quand x tend vers 0 par valeurs positives, elle tend vers +∞ ; par valeurs négatives, vers −∞. La fonction n’a pas de limite bilatérale en 0.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Quelle est la limite de (2x+1)/x quand x tend vers +∞ ?
Un indice
Divise chaque terme du numérateur par x.
Voir et comprendre la correction
(2x+1)/x=2+1/x. Comme 1/x tend vers 0, le quotient tend vers 2. La droite y=2 est une asymptote horizontale à droite.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Trouve la limite de (3x² + 1)/(x² − 2) quand x → +∞.
Un indice pour démarrer
Divise numérateur et dénominateur par x².
Correction étape par étape
- Le quotient devient (3 + 1/x²)/(1 − 2/x²).
- Les termes en 1/x² tendent vers 0.
- La limite vaut 3.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Compare les limites de 1/(x − 2) à gauche et à droite de 2.
Un indice pour démarrer
Le dénominateur s’approche de zéro avec des signes différents.
Correction étape par étape
- À gauche, x − 2 < 0 : limite −∞.
- À droite, x − 2 > 0 : limite +∞.
- Il n’existe pas de limite bilatérale unique ; x = 2 est une asymptote verticale.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Calcule la limite de (x² − 1)/(x − 1) en 1. La fonction y est-elle définie ?
Un indice pour démarrer
Factorise pour x ≠ 1.
Correction étape par étape
- x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
- Pour x ≠ 1, le quotient vaut x + 1 : limite 2.
- La formule initiale reste non définie en 1 ; limite et valeur sont distinctes.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Un zoom ne démontre pas une limite. ∞−∞ ou 0/0 ne sont pas des résultats de calcul.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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