Mathématiques · 19 / 23
Exponentielle et logarithme : deux opérations inverses
Terminale · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
L’exponentielle est toujours positive et transforme une somme en produit. Le logarithme népérien est défini sur les nombres strictement positifs et inverse l’exponentielle. Ainsi ln(eˣ) = x, et e^(ln a) = a pour a > 0. Une évolution exponentielle correspond à un taux relatif constant, pas à une augmentation absolue constante.
- 01eˣ : positif
- 02ln : entrée positive
- 03Opérations inverses
- 04Vérifier le domaine
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Pour eˣ = 5, applique ln aux deux membres : x = ln 5, environ 1,609. Pour ln(x) = 2, x doit être positif et vaut e², environ 7,389.
Résoudre sans oublier les conditions
ln(2x−3)=ln(x+1) impose 2x−3>0 et x+1>0, donc x>1,5. Le logarithme étant injectif sur les positifs, 2x−3=x+1, puis x=4. Vérifie les arguments : 5 et 5. Les conditions de domaine sont une étape de la solution, pas une remarque finale facultative.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Résous ln(x − 1) = 0.
Un indice
Vérifie d’abord le domaine, puis utilise e⁰.
Voir et comprendre la correction
Le domaine impose x > 1. ln(x − 1) = 0 donne x − 1 = e⁰ = 1, donc x = 2, qui appartient au domaine.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Résous eˣ = 5 sur les réels.
Un indice pour démarrer
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle.
Correction étape par étape
- Les deux membres sont positifs.
- Applique ln : x = ln(5).
- Il y a une unique solution car l’exponentielle est strictement croissante.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Résous ln(x − 2) = 0.
Un indice pour démarrer
Établis le domaine avant d’exponentier.
Correction étape par étape
- Le domaine exige x > 2.
- x − 2 = e⁰ = 1, donc x = 3.
- 3 appartient au domaine ; ln(1) = 0.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Une quantité suit Q(t) = 80e^(−0,2t). Écris le temps de demi-vie.
Un indice pour démarrer
Pose Q(t) = 40 et isole l’exponentielle.
Correction étape par étape
- e^(−0,2t) = 1/2.
- −0,2t = ln(1/2) = −ln(2).
- t = ln(2)/0,2 ≈ 3,466 unités de temps.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
ln(a + b) n’est pas ln a + ln b. Le logarithme transforme les produits, pas les sommes.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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