Mathématiques · 08 / 23
Pythagore : calculer une longueur et vérifier un angle
Collège · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des côtés perpendiculaires. L’hypoténuse est opposée à l’angle droit et constitue le plus grand côté. La réciproque permet de vérifier un angle droit lorsque le carré du plus grand côté égale la somme des deux autres. Une longueur reste positive et toutes les mesures doivent utiliser la même unité.
- 01Angle droit
- 02Hypoténuse
- 03Carrés et racine
- 04Longueur et unité
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Avec côtés perpendiculaires 5 et 12, c² = 25+144 = 169, donc c=13. Avec hypoténuse 10 et côté 6, l’autre côté vaut √(100−36)=8.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Un triangle a pour côtés 7, 24 et 25. Est-il rectangle ?
Un indice
Compare 25² à 7²+24².
Voir et comprendre la correction
25²=625 et 7²+24²=49+576=625. Par la réciproque, le triangle est rectangle, avec hypoténuse 25.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Deux côtés perpendiculaires mesurent 6 et 8 cm. Trouve l’hypoténuse.
Un indice pour démarrer
Les carrés des petits côtés s’ajoutent.
Correction étape par étape
- c² = 6² + 8² = 100.
- La longueur positive c vaut 10 cm.
- Ne calcule pas 6 + 8 : le théorème porte sur les carrés.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Un triangle a pour côtés 5, 12 et 13 cm. Est-il rectangle ?
Un indice pour démarrer
Teste le carré du plus grand côté.
Correction étape par étape
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
- 13² = 169 : l’égalité est vérifiée.
- La réciproque prouve que le triangle est rectangle, face au côté 13.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Un rectangle mesure 9 m sur 12 m. Quelle longueur de câble joint deux sommets opposés ?
Un indice pour démarrer
La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle.
Correction étape par étape
- d² = 9² + 12² = 225.
- d = 15 m.
- Il s’agit de la distance directe ; un câble longeant les bords mesurerait 21 m.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
La somme de longueurs n’est pas la somme de leurs carrés. N’applique pas le théorème sans angle droit ou sans vérifier la réciproque.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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