Mathématiques · 02 / 23
Puissances et racines : compter les facteurs
Collège · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Une puissance entière positive compte des facteurs identiques. Pour a non nul, a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ. La racine carrée réelle de a ≥ 0 est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a. Ainsi √(x²) = |x|, car une racine carrée ne devient jamais négative.
- 01Facteurs identiques
- 02Règle adaptée
- 03Domaine de la racine
- 04Contrôler le signe
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 : tu réunis sept facteurs 2. En revanche, (2³)⁴ = 2¹² : quatre groupes de trois facteurs. √((-3)²) = √9 = 3.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Simplifie 5³/5² puis calcule √((-4)²).
Un indice
En divisant, les facteurs communs se simplifient. La racine principale est positive ou nulle.
Voir et comprendre la correction
5³/5² = 5¹ = 5. √((-4)²) = √16 = 4, et non −4.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Simplifie 2³ × 2⁴. Pourquoi ne multiplie-t-on pas les exposants ?
Un indice pour démarrer
Compte les facteurs 2.
Correction étape par étape
- Il y a trois puis quatre facteurs identiques.
- Au total : 2⁷ = 128.
- Les exposants se multiplient pour une puissance de puissance, comme (2³)⁴.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Simplifie √72 sous la forme a√b avec b sans facteur carré.
Un indice pour démarrer
Cherche le plus grand carré qui divise 72.
Correction étape par étape
- 72 = 36 × 2.
- √72 = √36 × √2 = 6√2.
- Ne remplace pas √(36 + 36) par √36 + √36.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Pour x = −3, compare √(x²) et x.
Un indice pour démarrer
Une racine carrée désigne le résultat positif ou nul.
Correction étape par étape
- x² = 9 ; √9 = 3.
- Le résultat est
- x
- , ici 3, et non −3.
- Ainsi √(x²) = x exige x ≥ 0.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
√(a + b) n’est généralement pas √a + √b. Et −2² = −4, tandis que (−2)² = 4.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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