Mathématiques · 17 / 23
Probabilités : lire un arbre sans se perdre
Première · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Une probabilité est entre 0 et 1. Dans un arbre, les branches issues d’un même nœud décrivent des possibilités conditionnelles dont les probabilités totalisent 1. Multiplie le long d’un chemin pour une intersection ; additionne des chemins incompatibles pour un même événement. L’indépendance ne doit pas être supposée sans justification.
Un chemin : on multiplie. Des chemins incompatibles vers un même événement : on additionne. L’arbre est partiel ; les branches de non A ne sont pas dessinées.
- 01Nœud : total 1
- 02Chemin : multiplier
- 03Cas incompatibles : additionner
- 04Contrôle entre 0 et 1
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
P(A) = 0,4 et P(B sachant A) = 0,5. Le chemin A puis B a pour probabilité 0,4 × 0,5 = 0,2. Il ne suffit pas de connaître P(B) pour remplacer la probabilité conditionnelle.
Reconstituer une probabilité totale
Si P(A)=0,4, P(B|A)=0,5 et P(B|non A)=0,1, deux chemins incompatibles mènent à B. Leur somme donne P(B)=0,4×0,5+0,6×0,1=0,26. À l’inverse, P(A|B)=0,20/0,26≈0,769 : l’ordre du conditionnement change la question.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Deux lancers indépendants d’une pièce équilibrée : probabilité de deux piles ?
Un indice
Chaque branche pile a une probabilité 1/2.
Voir et comprendre la correction
(1/2) × (1/2) = 1/4. Les quatre résultats PP, PF, FP, FF sont équiprobables.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Un dé équilibré a six faces. Quelle probabilité d’obtenir un nombre pair ?
Un indice pour démarrer
Compte les issues favorables dans un modèle équiprobable.
Correction étape par étape
- Les issues paires sont 2, 4 et 6.
- Il y en a trois sur six.
- P(pair) = 1/2.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. Calcule P(A ∪ B).
Un indice pour démarrer
La somme brute compte deux fois l’intersection.
Correction étape par étape
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.
- Aucune hypothèse d’indépendance n’est nécessaire pour cette formule.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Deux tirages sans remise dans une urne de 3 boules rouges et 2 bleues : probabilité de deux rouges ?
Un indice pour démarrer
Après une rouge, l’urne et le nombre de rouges changent.
Correction étape par étape
- La première rouge a une probabilité 3/5.
- Après cette rouge : 2 rouges parmi 4 boules, soit 2/4.
- Multiplie : 3/5 × 2/4 = 3/10.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Additionner le long d’un chemin ou confondre P(A sachant B) et P(B sachant A).
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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