Mathématiques · 15 / 23
Dérivées : la pente au voisinage d’un point
Première · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Un taux de variation compare deux points. La dérivée, lorsqu’elle existe, est sa limite quand les points se rapprochent : elle mesure la pente de la tangente. Le signe de la dérivée sur un intervalle permet d’étudier les variations. Une pente numérique vue dans l’atelier est une approximation, pas une démonstration.
Schéma de principe : la droite représente une tangente ; son triangle de pente relie variation verticale et horizontale. Le quotient entre deux points de la courbe tend vers la dérivée.
- 01Deux points
- 02Taux de variation
- 03Limite locale
- 04Pente de tangente
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
Pour f(x) = x², f′(x) = 2x. En x = 3, la pente vaut 6. La tangente a pour équation y = f(3) + 6(x − 3), soit y = 6x − 9.
Construire la limite sur x²
La pente entre x et x+h, avec h non nul, vaut ((x+h)² − x²)/h. Développe : (2xh+h²)/h = 2x+h. Quand h tend vers 0, cette pente tend vers 2x. Cette simplification explique la formule de dérivation ; elle ne permet pas de poser h=0 dans le quotient initial.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Pour f(x) = x², sur quels intervalles f décroît-elle puis croît-elle ?
Un indice
Étudie le signe de 2x.
Voir et comprendre la correction
2x est négatif pour x < 0 et positif pour x > 0. f décroît sur les réels négatifs puis croît sur les réels positifs, avec un minimum en 0.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Dérive f(x) = 3x² − 4x + 7.
Un indice pour démarrer
Dérive chaque terme séparément.
Correction étape par étape
- La dérivée de 3x² est 6x.
- Celle de −4x est −4 ; celle de 7 est 0.
- f′(x) = 6x − 4.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Écris la tangente à f(x) = x² au point d’abscisse 2.
Un indice pour démarrer
Il faut à la fois le point et la pente.
Correction étape par étape
- f(2) = 4 et f′(2) = 4.
- y = 4(x − 2) + 4.
- La tangente est y = 4x − 4, pas y = 4x.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Étudie les variations de f(x) = x³ − 3x.
Un indice pour démarrer
Factorise la dérivée pour construire son signe.
Correction étape par étape
- f′(x) = 3(x − 1)(x + 1).
- Elle est positive hors [−1,1] et négative entre −1 et 1.
- f croît, décroît, puis croît ; f(−1) = 2 et f(1) = −2.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Une dérivée nulle en un point ne suffit pas à prouver un maximum : il faut étudier le signe autour.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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