Mathématiques · 14 / 23
Second degré : discriminant et racines
Première · Exemple résolu et 4 exercices corrigés, à ton rythme.
Le principe, simplement
Un polynôme ax² + bx + c avec a non nul décrit une parabole. Ses zéros correspondent aux intersections avec l’axe horizontal. Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines réelles : deux si Δ est positif, une double s’il est nul, aucune s’il est négatif. La forme factorisée aide ensuite à étudier le signe.
- 01Identifier a, b, c
- 02Calculer Δ
- 03Choisir le cas
- 04Vérifier les racines
EXEMPLE RÉSOLU
Du cours au raisonnement
x² − 3x + 2 : Δ = 9 − 8 = 1. Les racines sont (3 − 1)/2 = 1 et (3 + 1)/2 = 2. Donc le polynôme vaut (x − 1)(x − 2).
Passer du calcul au signe
Avec (x − 1)(x − 2), marque 1 et 2 sur une droite. Avant 1, les deux facteurs sont négatifs : le produit est positif. Entre 1 et 2, leurs signes sont opposés : produit négatif. Après 2, ils sont positifs : produit positif. Aux racines, le produit vaut zéro. Pour un coefficient a négatif, le signe du produit est inversé.
Résoudre un problème dans cette matière
- Définir les objets
Note les inconnues, le domaine et les données. Pour une racine réelle, le radicande est positif ou nul ; pour un quotient, le dénominateur est non nul.
- Choisir une transformation
Écris la règle utilisée : distributivité, équivalence d’équations, factorisation, dérivation… Une règle a des conditions. Si tu élèves au carré, vérifie ensuite les solutions dans l’équation initiale.
- Montrer le raisonnement
Une ligne doit suivre de la précédente. Conserve une valeur exacte aussi longtemps que possible et distingue égalité, approximation et implication.
- Tester et conclure
Remplace une solution dans l’expression d’origine. Sur un graphique, vérifie quelques points et les limites du domaine. Écris l’ensemble des solutions ou l’unité attendue.
À TOI DE JOUER
01 · Une tentative avant la correction
Résous x² − 4 = 0.
Un indice
Tu peux factoriser une différence de carrés.
Voir et comprendre la correction
x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Un produit est nul si un facteur est nul : x = 2 ou x = −2. Δ = 16 confirme deux racines.
Compare la méthode, les conditions et le résultat ; indique précisément ce que tu dois reprendre.
PROGRESSER PAR LA PRATIQUE
Trois défis supplémentaires, avec correction
Commence par le premier défi. Écris ta démarche avant d’ouvrir un indice ; utilise la correction pour retrouver la première étape qui bloque.
Résous x² − 5x + 6 = 0 par factorisation.
Un indice pour démarrer
Cherche deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme 5.
Correction étape par étape
- x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
- Un produit est nul si un facteur est nul.
- Les solutions sont 2 et 3.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Combien de racines réelles possède 2x² + x + 3 ?
Un indice pour démarrer
Calcule le discriminant avant toute racine carrée.
Correction étape par étape
- Δ = 1² − 4 × 2 × 3 = −23.
- Δ < 0 : aucune racine réelle.
- Cela ne signifie pas que le polynôme n’a aucune valeur : il reste positif.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
Une aire vaut A(x) = −x² + 8x, pour 0 ≤ x ≤ 8. Quelle aire maximale ?
Un indice pour démarrer
Complète le carré ou utilise l’abscisse du sommet.
Correction étape par étape
- A(x) = −(x − 4)² + 16.
- Le carré est minimal en x = 4, qui appartient au domaine.
- Aire maximale : 16 unités carrées.
Quelle étape avais-tu oubliée ? Refais cet exercice sans aide, puis explique pourquoi la méthode fonctionne.
L’erreur à éviter
Appliquer la formule du second degré avec a = 0 ; il faut alors traiter une équation linéaire.
Sans tes notes, peux-tu…
- Expliquer le principe avec tes mots ?
- Reconstruire le schéma et ses liens ?
- Résoudre l’exercice et justifier la méthode ?
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